(16. Gráfica digital)
Diversas áreas de la matemática hacen uso de la gráfica: todos conocemos algo de geometría, que es la más antigua en este campo. Pero la computación -basada en gran parte en la matemática- ha hecho surgir nuevas áreas de investigación en que la imagen está jugando un papel fundamental para descubrir estructuras y características peculiares de diversas funciones matemáticas.Así, la simple división en tres, repetida "al infinito", de los lados un triángulo equilátero, construyendo cada vez en el tercio central un nuevo triángulo, termina generando una superficie finita pero encerrada en un perímetro de longitud infinita, llamado "curva de Koch". Esta paradoja ha conducido a un gran descubrimiento: ¡el que las "tres dimensiones del espacio" constituyen en realidad un sistema contínuo y que existen medidas intermedias (1,5 .. 2,3 ... etc.)! Así, se calcula que la dimensión de la llamada "curva de Koch" es 1,2628... (o sea, está entre la línea -dimensión 1- y el plano -dimensión 2-).A dichas dimensiones, que son fracciones de las tradicionales, y a sus representaciones se dió el nombre de fractal.
Se ha llevado este concepto a la geografía y se ha descubierto que las costas de los continentes tienen una dimensión fractal: en efecto, mientras más detallada es la escala adoptada, más cambios de ángulos se descubren ... ¡y habría que medir hasta cada grano de arena para completar el diseño del contorno completo! Éste fue un descubrimiento de Benoit Mandelbrot, inventor del término "fractal" (1975). Encontró aspectos parecidos en secuencias de errores en la transmisión computacional de datos, en las crecidas del Nilo y en la forma de las nubes. También se puede reconocer en la forma en que crecen las plantas y en la forma en que divide yb progresa el rayo en una tormenta, estructura llamada "bifurcaciones en límites naturales inestables" (La proyección gráfica de la función matemática se exhibe al lado).Además, encontró luego una estructura regular al comparar -en diferentes escalas- las evoluciones de los precios del algodón en todo el último siglo, como también en la evolución de las rentas (cfr."The Fractal Geometry of Nature", 1977).
Atractores y caos
El principal desarrollo matemático-visual basado en la computación y en la existencia de los fractales ha sido sin duda la "Teoría del Caos", que partió del descubrimiento de funciones con comportamiento extraño.
La base formal de los conocimientos de hoy se remonta a Edward Lorenz (meteorólogo del MIT), quién publicó en 1963 "Deterministic Nonperiodic Flow" sobre el comportamiento no-lineal de un sistema de 3 ecuaciones lineales correspondiente a un modelo simplificado de dinámica de fluídos. La figura A1 muestra la forma tradicional (bidimensional) de representación de la evolución de este tipo de sistema (como el de los giros de una noria en función del flujo de agua). Pero si se recurre a una representación tridimensional, la secuencia de coordenadas de los puntos determinados por los valores de las 3 variables es también contínua, pero se desplaza en dos planos (figura A2) y va formando -con el tiempo- una suerte de espiral doble como una mariposa con su par de alas. Lo extraño es que ningún punto se repetía jamás a pesar de que la imagen muestra claramente la existencia de un nuevo tipo de orden, que se llamó "atractor" (figura izquierda, Ilustración de Gleick, p.36). James Yorke descubrió en 1972 el trabajo de Lorenz, lo difundió y lo analizó con Robert May (matemático, biólogo y ecólogo). Analizando matemáticamente el comportamiento de la ecuación (que May puso en evidencia) Yorke probó que cualquier sistema unidimensional (como el de la curva logística), si muestra en algún momemento un período regular de 3, mostrará ciclos regulares de extensión diferente y también otros, caóticos. Así hizo el gran descubrimiento de que "sistemas sencillos hacen cosas complejas", el que dió a conocer en el artículo "Period three Implies Chaos" (1975). Se descubrieron luego efectos similares en genética, economía, dinámica de fluidos, epidemiología, fisiología, etc. (cfr. May, R.: "Simple Mathematical Models", Nature, 1976, p.467; Lewin, R.: "La Complexité", pp.111-115)
También se pudo comprobar que, en un fractal, las cuencas corresponden a atractores (funciones poderosas que parecen mantener un fenómeno dentro de ciertos límites, hasta que la suma de pequeños cambios es tal que su evolución se "libera" o, a la inversa, que conduce la suma de cambios a un estado aparentemente más estable). Los límites entre cuencas ponen en evidencia que la frontera entre "la calma y la catástrofe" es más complicada que todo lo que se puede imaginar.
Mitchell Feigenbaum llevó el análisis a los fenómenos mentales, lo cual lo llevó a plantear que "para entender cómo la mente humana entresaca algo del caos de la percepción, habría que entender de qué manera el desorden produce universalidad" (Ej.: vistos de muy lejos, los movimientos de una familia en un picnic parecen caóticos). Al comparar la evolución de diferentes funciones matemáticas que producen bifurcacionse llegó finalmente (1976) a una teoría y un procedimiento matemático aplicable en forma universal. Este trabajo llevó a realizar el 1º Congreso sobre "Ciencia del Caos" en Como, Italia (1977) y las pruebas matemáticas definitivas las produjo Oscar Lanford III en 1979.
John Hubbard (U. de Cornell) demostró la existencia de una continuidad lineal de todos los elementos de un gráfico fractal, con infinita variedad (en una repetición sólo aparente a grandes rasgos). Y las investigaciones muestran que todos los fractales parecen terminar en el conjunto de Mandelbrot, confirmándose el principio de universalidad (Cfr.Gleick, J. "Caos", p.236). 
Mandelbrot, en efecto, descubrió una función matemática muy simple que, ingeniosamente graficada, genera las imágenes que mostramos al lado y abajo y que son ampliaciones de fragmentos del conjunto original, en algunos casos con distintas opciones de color.(Generado en el computador del autor). 
En 1977, Robert Shaw, doctorando de la U. de Santa Cruz (CA) abandona sus trabajos de física superconductora para dedicarse a la matemática del caos, que descubre programando el atractor de Lorenz en un computador analógico. Varios nuevos profesionales se le unieron para intentar enlazar la teoría (aún débil) con lo experimental (más desarrollado). Shaw descubrió la relación entre los atractores, el caos y la Teoría de la Información fundada en la entropía (cfr. "Strange Atractors, Chaotic Behavior and Information Flow"). Los atractores son medidas de la entropía; el caos es la creación de la información; sin caos, no hay sorpresa, es decir que no hay información (cfr. Gleick, p.255-259).
Arnold Mandell, siquiatra, descubrió un comportamiento caótico en enzimas del cerebro. Los trabajos de Mandell apuntan a reconocer que el funcionamiento de la mente también tiene una estructura fractal tanto en su base fisiológica como en la estructura semántica.
Arnold Mandell, siquiatra, descubrió un comportamiento caótico en enzimas del cerebro. Los trabajos de Mandell apuntan a reconocer que el funcionamiento de la mente también tiene una estructura fractal tanto en su base fisiológica como en la estructura semántica.
La "frontera del caos"
Hacia 1980, Steven Wolfram descubrió que, aparte de los 3 estados clásicos de los sistemas dinámicos (estable, periódico y caótico) existe un cuarto estado, en el límite entre orden y caos. Tres años después, Chris Langton pudo mostrar que esta cuarta clase es la que exige el mayor volúmen de cálculo y el manejo de la mayor cantidad de información. Ahí, en la zona de transisión entre orden y caos, "se presiente que el tratamiento de la información constituye uno de los elementos importantes de la dinámica de un sistema".
Norman Packard, que hacía investigaciones paralelas, dió a este 4º estado el nombre de "frontera del caos". Investigó cómo el proceso evolutivo se encuentra en esta área y descubrió -con autómatas celulares (imagen al lado) y reglas que se modifican mediante un algoritmo genético- que las reglas de cambios internos se modifican solas en la dirección de una eficiencia máxima, siempre más cerca del límite del caos (Lewin, R., La complexité, p.56-60).